Mathematics-I (3110014)

$\mathrm{Here}, {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{x}}{1·2}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{3·4}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{5·6}+\frac{{\mathrm{x}}^4}{7·8}+...$

$\Rightarrow {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}\left(2\mathrm{n}-1\right)}$

$\Rightarrow {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}+1}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{2\left(\mathrm{n}+1\right)\left[2\left(\mathrm{n}+1\right)-1\right]}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\left(2\mathrm{n}+2\right)\left(2\mathrm{n}+2-1\right)}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\left(2\mathrm{n}+2\right)\left(2\mathrm{n}+1\right)}$

$\mathrm{Now}, \mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}+1}}$

$\mathrm{Now}, \mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}\left(2\mathrm{n}-1\right)}\frac{\left(2\mathrm{n}+2\right)\left(2\mathrm{n}+1\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}$

$\mathrm{Now}, \mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{1}{2{\mathrm{n}}^2\left(2-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{n}}}\right)}\frac{{\mathrm{n}}^2\left(2+{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{n}}}\right)\left(2+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{n}}}\right)}{\mathrm{x}}$

$\mathrm{Now}, \mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{1}{2\left(2-0\right)}\frac{\left(2+0\right)\left(2+0\right)}{\mathrm{x}}$

$\mathrm{Now}, \mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{1}{4}\frac{4}{\mathrm{x}}$

$\mathrm{No}\Rightarrow \mathrm{L}=\frac{1}{\mathrm{x}}$

$\mathrm{By} \mathrm{D}’ \mathrm{Alembert}’\mathrm{s} \mathrm{ratio} \mathrm{test}, \mathrm{the} \mathrm{series} \mathrm{is},$

$1. \mathrm{Convergent},\mathrm{if} 1/\mathrm{x}>1. \mathrm{i}.\mathrm{e}. \mathrm{x}<1.$

$2. \mathrm{Divergent},\mathrm{if} 1/\mathrm{x}<1. \mathrm{i}.\mathrm{e}. \mathrm{x}>1.$

$3. \mathrm{Test} \mathrm{fails},\mathrm{if} 1/\mathrm{x}=1. \mathrm{i}.\mathrm{e}. \mathrm{x}=1.$

$\mathrm{Let} \mathrm{us} \mathrm{check} \mathrm{for}, \mathrm{x}=1.$

$\mathrm{Putting} \mathrm{x}=1 \mathrm{in} {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{2\mathrm{n}(2\mathrm{n}-1)} .$

$\Rightarrow {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2\mathrm{n}(2\mathrm{n}-1)}=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2\left(2-\frac{1}{\mathrm{n}}\right)} .$

$\mathrm{Let}, {\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}$

$\mathrm{Now}, \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{1}{2{\mathrm{n}}^2\left(2-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{n}}}\right)}\frac{{\mathrm{n}}^2}{1}$

$\mathrm{Now}, \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{1}{2\left(2-{\displaystyle \frac{1}{\infty }}\right)}$

$\mathrm{Now}, \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{1}{2\left(2-0\right)}$

$\mathrm{Now}, \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{1 }{4} ; \mathrm{finite} \& \mathrm{non}-\mathrm{zero}.$

$\mathrm{By} \mathrm{p}–\mathrm{test}, {\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2} ; \mathrm{p}=2>1$

$\mathrm{So},\sum {\mathrm{v}}_{\mathrm{n}} \mathrm{is} \mathrm{convergent}.$

$\mathrm{By} \mathrm{limit} \mathrm{comparison} \mathrm{test},\sum {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}} \mathrm{is} \mathrm{convergent}.$

$\mathrm{Hence} \mathrm{given} \mathrm{series} \mathrm{is} \mathrm{convergent} \mathrm{for} \mathrm{x}\le 1 \mathrm{and} \mathrm{divergent} \mathrm{for} \mathrm{x}>1.$