Mathematics-I (3110014)

$\mathrm{Equation} \mathrm{of} \mathrm{line} \mathrm{AB} \mathrm{is} \mathrm{y}=1.$

$\mathrm{Equation} \mathrm{of} \mathrm{line} \mathrm{AC} \mathrm{is},$

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

$\Rightarrow \frac{y-1}{2-1}=\frac{x-0}{1-0}$

$\Rightarrow y-1=x$

$\Rightarrow y=x=1$

$\mathrm{Limits} \mathrm{from} \mathrm{fig}. \left[ 1 \right],$

$\mathrm{y}=1 \mathrm{to} \mathrm{y}=\mathrm{x}+1$

$\mathrm{x}=0 \mathrm{to} \mathrm{x}=1$

$\mathrm{Now},$

$\mathrm{I}={\int }_{\mathrm{x}=0}^{\mathrm{x}=1}{\int }_{\mathrm{y}=1}^{\mathrm{y}=\mathrm{x}+1}\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right) \mathrm{dy} \mathrm{dx}$

$\mathrm{I}={\int }_{\mathrm{x}=0}^{\mathrm{x}=1}{\left[{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}\right]}_1^{\mathrm{x}+1} \mathrm{dx}$

$\mathrm{I}={\int }_{\mathrm{x}=0}^{\mathrm{x}=1}\left[\left\{{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}+1\right)-\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^3}{3}\right\}-\left\{{\mathrm{x}}^2\left(1\right)-\frac{{\left(1\right)}^3}{3}\right\}\right] \mathrm{dx}$

$\mathrm{I}={\int }_{\mathrm{x}=0}^{\mathrm{x}=1}\left[{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^3}{3}-{\mathrm{x}}^2+\frac{1}{3}\right] \mathrm{dx}$

$\mathrm{I}={\int }_{\mathrm{x}=0}^{\mathrm{x}=1}\left[{\mathrm{x}}^3-\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^3}{3}+\frac{1}{3}\right] \mathrm{dx}$

$\mathrm{I}={\left[\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}-\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^4}{12}+\frac{\mathrm{x}}{3}\right]}_0^1$

$\mathrm{I}=\left\{\frac{{\left(1\right)}^4}{4}-\frac{{\left(1+1\right)}^4}{12}+\frac{1}{3}\right\}-\left\{\frac{0}{4}-\frac{{\left(0+1\right)}^4}{12}+\frac{0}{3}\right\}$

$\mathrm{I}=\frac{1}{4}-\frac{16}{12}+\frac{1}{3}-0+\frac{1}{12}-0$

$\mathrm{I}=\frac{3-16+4+1}{12}$

$\mathrm{I}=-\frac{8}{12}$

$\mathrm{I}=-\frac{2}{3}$

$\mathrm{Hence},\iint \left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right) \mathrm{dx} \mathrm{dy}=-\frac{2}{3}.$