Newton’s Backward Difference Formula If data are ( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) , … , ( xn , yn ). Where, x0 , x1 , x2 , … , xn are equally spaced,v f ( x ) = y = yn + p ∇yn + p ( p + 1 )2 !∇2 yn + p ( p + 1 ) ( p + 2 ) 3 !∇3 yn + ⋯ Where, p= x - x0 h; xn is the last point. x f ( x ) ∇ f ( x ) ∇2 f ( x ) ∇3 f ( x ) ∇4 f ( x ) ∇5 f ( x ) 3 28 37 4 65 24 61 6 5 126 30 0 91 6 0 6 217 36 0 127 6 7 344 42 169 8 513 Here, p= x - xn h= 7.5 - 8 1= -0.5 The Newton’s forward difference formula is f ( x ) = y = yn + p ∇yn + p ( p + 1 )2 !∇2 yn + p ( p + 1 ) ( p + 2 ) 3 !∇3 yn + ⋯ f ( x ) = y = 513 + -0.5 169 + 12 ! -0.5 -0.5 + 1 42 + 13 ! -0.5 -0.5 + 1 -0.5 + 2 6 + 0 + 0 f ( x ) = 513 - 84.5 - 5.25 - 0.375 f ( x ) = 422.875
