Mathematics-I (3110014)

$\mathrm{Here}, \frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{n}}^2} .........[ 1 ]$

$\mathrm{Comparing} \mathrm{with} \mathrm{Eq}. [ 1 ] \mathrm{with} \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}} ,$

$\mathrm{So}, {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}} =\frac{1}{{\mathrm{n}}^2} .$

$\mathrm{Clearly},\frac{1}{1^2}>\frac{1}{2^2}>\frac{1}{3^2}>\frac{1}{4^2}>\cdots$

$\mathrm{So},{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}} \mathrm{is} \mathrm{decreasing} \mathrm{sequence}.$

$\mathrm{Now}, \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim } {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}$

$\mathrm{No}= \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right)$

$\mathrm{No}= 0$

$\mathrm{So}, \mathrm{by} \mathrm{Leibnitz}’\mathrm{s} \mathrm{Test}, \mathrm{given} \mathrm{series} \mathrm{is} \mathrm{convergent}.$