Mathematics-I (3110014)

$\mathrm{Now},$

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}-\log \left(1+\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^2}$ $\left[\frac{0}{0} \mathrm{type} \mathrm{and} \mathrm{applying} \mathrm{L}\text{'}\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{spital}\text{'}\mathrm{s} \mathrm{Rule}\right]$

$\left[\mathrm{Note} \mathrm{that}, \frac{d}{d\mathrm{x}}\left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)={\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \mathrm{and} \frac{d}{d\mathrm{x}}\left[\log \left(1+\mathrm{x}\right)\right]=\frac{1}{1+\mathrm{x}}\right]$

$=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{xe}{}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}{}^{\mathrm{x}}-{\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{x}}}}{2\mathrm{x}} \left[\frac{0}{0} \mathrm{type} \mathrm{and} \mathrm{applying} \mathrm{L}\text{'}\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{spital}\text{'}\mathrm{s} \mathrm{Rule}\right]$

$\left[\mathrm{Note} \mathrm{that}, \frac{d}{d\mathrm{x}}\left(\frac{1}{1+\mathrm{x}}\right)=-\frac{1}{{\left(1+\mathrm{x}\right)}^2}\right]$

$=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{xe}{}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}{}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}{}^{\mathrm{x}}+{\displaystyle \frac{1}{{\left(1+\mathrm{x}\right)}^2}}}{2}$

$=\frac{\left(0\right)e{}^0+\mathrm{e}{}^0+\mathrm{e}{}^0+{\displaystyle \frac{1}{{\left(1+0\right)}^2}}}{2} \left[\mathrm{Substituting} \mathrm{limit} \mathrm{of} \mathrm{x}\right]$

$=\frac{0+1+1+1}{2}$

$=\frac{3}{2}$