Mathematics-I (3110014)

$\mathrm{Here}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+7 ; \mathrm{a}=2 [ \mathrm{comparing} \mathrm{with} \mathrm{x}-\mathrm{a}=\mathrm{x}-2 ]$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+7 ⟹\mathrm{f}\left(2\right)=2(2{)}^3+3(2{)}^2-8\left(2\right)+7=19$

${\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=6{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-8 ⟹{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(2\right)=6(2{)}^2+6(2)-8=28$

${\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=12\mathrm{x}+6 ⟹{\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}}\left(2\right)=12\left(2\right)+6=30$

${\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=12 ⟹{\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(2\right)=12$

$\mathrm{By} \mathrm{Taylor}’\mathrm{s} \mathrm{Series},$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)+(\mathrm{x}-\mathrm{a}) {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{a}\right)+\frac{(\mathrm{x}-\mathrm{a}{)}^2}{2 !} {\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{a}\right)+\frac{(\mathrm{x}-\mathrm{a}{)}^3}{3 !} {\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{a}\right)+\cdots$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(2\right)+(\mathrm{x}-2) {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(2\right)+\frac{(\mathrm{x}-2{)}^2}{2 !} {\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}}\left(2\right)+\frac{(\mathrm{x}-2{)}^3}{3 !} {\mathrm{f}}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\left(2\right)+\cdots$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=19+(\mathrm{x}-2) \left(28\right) +\frac{(\mathrm{x}-2{)}^2}{2} \left(30\right)+\frac{(\mathrm{x}-2{)}^3}{6} \left(12\right)+\cdots$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=19+28(\mathrm{x}-2) +15 (\mathrm{x}-2{)}^2+2 (\mathrm{x}-2{)}^3+\cdots$